연속함수들이 한 점씩 수렴해도 마지막 그래프는 불연속일 수 있다

f_n(x)=x^n\quad(0\le x\le1,\ n=1,2,3,\ldots),\qquad f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x).

f를 구하고 연속인지 판단하라. 각 fₙ이 연속이며 증가하므로 극한 함수도 연속이라는 답을 검토한다.

0≤x<1을 고정하면 등비 항 xⁿ은0으로 간다. x=1에서는 모든 항이1이다. 따라서 f는1미만에서0이고1에서1이다. 1에서 왼쪽 극한0과 함수값1이 달라 연속이 아니다.

\int_0^1f_n(x)\,dx=\frac1{n+1}\longrightarrow0.

적분값이 작아진다는 사실도 끝점의 함수값을0으로 바꾸지 않는다. 예를 들어 움직이는 입력 xₙ=2⁻¹⁄ⁿ은1로 가지만 fₙ(xₙ)=1/2다. 고정한 x에서 극한을 계산한 문장에 이 입력을 대신 넣을 수 없다.

그림에서는1 근처의 곡선이 가파르게 좁아지는 모습을 볼 수 있다. 답안에서는 고정 입력의 등비수열, 끝점의 값, 움직이는 입력을 각각 구별하여 기록한다. 함수를 n에 따라 바꾸는 과정은 같은 연속함수 안에서 입력만 바꾼 극한과 다르다.