같은 길이의 신뢰구간을 보고 표본크기를 알아낼 수 있을까

정규 모집단의 모표준편차를 알고95% 공식을 적용하여 다음 구간을 만들었다. 원고에서는 표본크기 n과 모표준편차 σ의 값이 빠졌다.

구간의 중심50·길이3.92를 보고 n=100이라고 정할 수 있는가?

구간 길이의 절반이1.96이므로 알 수 있는 조건은

이다. σ와 n을 따로 정하지는 못한다.

표본평균이 각각50이라면 두 조건 모두 주어진 구간을 만든다. 따라서 같은 구간의 길이가 같은 표본크기를 뜻하지 않는다.

빠진 값은 무엇인가

σ=10을 추가로 주면10/√n=1에서 n=100으로 정해진다. 표본크기를 역으로 찾는 데 필요한 모표준편차 정보가 앞 원고에는 없었다. 공식을 만든 사람이 σ를 알고 있다는 조건과 독자가 그 값을 전달받았다는 조건은 다르다.

두 경우의 개인 값 표준편차는5와10으로 다르지만 표본평균의 표준편차는 같다. 표본이 많은 쪽이라고 언제나 구간이 좁은 것은 아니다. 모집단의 변동도 함께 달라졌기 때문이다.

교사는 구간만 제시한 역산 문항에서 어떤 수가 알려져 있는지 먼저 표시한다. 구간 중심에서 표본평균은 알아낼 수 있지만 모평균이50이라고 확정하지 않는다. 표본평균과 모평균도 서로 다른 수다.

검토 기록에는 신뢰도·표본크기·알려진 모표준편차를 함께 남겨 계산을 재현할 수 있게 한다. 구간 길이가 맞아 보이는 것과 원래의 표본 조건을 하나로 되찾는 것은 다른 질문이다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#14 How confident are you? part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.