여섯 공을 세 쌍으로 나눌 때 모두 다른 색일 확률

서로 구별되는 여섯 공을 순서 없는 세 쌍으로 나눈다. 가능한 모든 쌍 나누기를 같은 확률로 고른다. 세 쌍 각각에 서로 다른 색의 공이 들어갈 확률을 구하라. 한 쌍이 성공할 확률을 세 번 곱해도 될까?

먼저 $R_1$과 짝이 될 공은 다섯 가지다. 남은 네 공을 두 쌍으로 나누는 방법은 세 가지다. 따라서 전체는 $5\times3=15$가지다. 각 나누기에는 $R_1$의 짝과 나머지 두 쌍의 짝짓기가 정확히 하나씩 대응한다.

$R_1$의 짝이 다른 색일 경우는 네 가지로 확률 $4/5$다. 그 짝이 $B_1$이라고 하자. 남은 $R_2,B_2,Y_1,Y_2$의 세 쌍 나누기 중 성공하는 것은 다음 두 가지다.

나머지 한 가지 $\{R_2B_2,Y_1Y_2\}$에는 같은 색 쌍이 있다. 첫 짝이 파랑이든 노랑이든 남은 성공 비율은 $2/3$이다. 그러므로

성공한 쌍 나누기도 첫 짝 네 가지마다 두 가지씩, 모두 여덟 가지다. $(4/5)^3$은 두 번째·세 번째 쌍에도 처음과 같은 공 다섯 개가 남아 있다고 잘못 가정한다. 교사는 첫 쌍을 정한 뒤 남은 색과 가능한 짝짓기를 다시 세게 한다. 쌍을 고르는 단계와 최종 쌍 세 개를 서로 독립으로 보는 주장은 구별해야 한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「5 Maths Gems #21」의 속성별 확률 질문을 읽고, 세 쌍의 조건이 앞선 선택에 따라 바뀌는 새 문항으로 작성했다.