공통 실근이 없어도 두 다항식에 같은 이차식 인수가 있다

P(x)=x^3+x^2+x+1,\qquad Q(x)=x^3-x^2+x-1.

P,Q를 모두 나누어떨어지게 하는 실수 계수 다항식 D 중 가장 큰 차수를 구하라. 최고차항의 계수가 1인 D도 구한다. “공통 실근이 없으므로 상수가 아닌 공통인수도 없다”라는 예시 답안을 검토한다.

두 항씩 묶으면 다음과 같다.

P=(x+1)(x^2+1),\qquad Q=(x-1)(x^2+1).

실수에서 x²+1은 0이 아니므로 P의 실근은 −1, Q의 실근은 1뿐이다. 공통 실근이 없다는 관찰은 맞다. 그러나 x²+1은 두 식의 공통인수다. 인수가 반드시 실수에서 0이 되는 일차식일 이유는 없다.

이제 차수 2보다 큰 공통인수가 가능한지도 확인한다. P=DU, Q=DV로 쓰면 P−Q=D(U−V)=2(x²+1)이다. 오른쪽은 0이 아닌 차수 2의 다항식이므로 D의 차수는 2 이하이다. 실제 x²+1이 그 차수를 달성한다.

\boxed{\text{가장 큰 차수}=2,\qquad D=x^2+1.}

차수 2인 D에서는 U−V가 0이 아닌 상수다. D의 최고차항 계수를 1로 정하면 위 차의 식에서 D=x²+1로 정해진다. 채점에서는 공통 실근을 찾은 줄과 공통인수를 판단한 줄을 분리한다. 실근 목록을 정확히 썼어도 인수 전체에 대한 결론이 맞는 것은 아니다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising by Inspection」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.