수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

유리함수의 치역 끝값 1은 가깝게 갈 수 있어도 얻을 수 없다

실수 전체에서 f(x)=(x²+1)/(x²+2)의 치역은 [1/2,1)입니다. 1/2≤y<1이면 x²=(2y−1)/(1−y)로 실제 입력을 찾을 수 있습니다. 1에 가까워지는 것과 1을 얻는 것은 다릅니다.

중심 기둥 주위를 도는 나무 나선계단

사진: Petar Milošević · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

f(x)=x2+1x2+2(x∈R)f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2}\qquad(x\in\mathbb R)

치역을 구하라. 함수값이 1에 가까워진다는 이유로 1을 포함해도 될까?

f(x)=1−1x2+2,12≤f(x)<1.f(x)=1-\frac1{x^2+2},\qquad \frac12\le f(x)<1.

x=0에서 1/2을 얻지만, 양수인 1/(x²+2)를 빼므로 1은 얻지 못한다.

범위 안의 값이 모두 가능한지도 확인한다. 1/2≤y<1에서

x2=2y−11−y≥0.x^2=\frac{2y-1}{1-y}\ge0.

그 제곱근을 x로 택하면 f(x)=y다. 따라서 치역은 [1/2,1)이며 최솟값은 1/2, 최댓값은 없다.

확인할 값 판정
1/2 x=0에서 얻는다
3/4 x=±√2에서 얻는다
1 어떤 실수 x에서도 얻지 못한다

범위를 제한하는 부등식과 그 범위의 모든 값을 얻는 확인을 함께 남긴다. 그래프 끝에 가까워지는 모습만으로 끝값의 포함 여부를 정하지 않는다.

출처·착안: Shaun Carter, 「Quadratic Vertex Form Card Sort」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.