증가함수와 역함수 아래 넓이를 더하면 정사각형 하나가 된다

f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f'(x)>0\ (0<x<1),\quad g=f^{-1}.

$f,f'$ 는 [0,1]에서 연속이다. 두 정적분 $\int_0^1f(x)\,dx$ 와 $\int_0^1g(y)\,dy$ 의 합을 구하자.

평균값의 정리로 $f$ 는 증가하고, 끝값과 연속성으로 [0,1]에서 [0,1]로의 일대일 대응이다. 역함수 $g$ 도 연속이다.

\begin{aligned} \int_0^1g(y)\,dy&=\int_0^1x f'(x)\,dx\\ &=[xf(x)]_0^1-\int_0^1f(x)\,dx. \end{aligned}

따라서 두 정적분의 합은 $\boxed1$ 이다. $f(x)=x^2$ 에서는 $g(y)=\sqrt y$ 이고 $1/3+2/3=1$ 로 확인한다.

임의의 두 함수에 이 넓이 관계를 적용하지 않는다. 역함수의 존재와 치환한 양 끝을 먼저 확인하고, 두 그림은 같은 함수와 역함수의 예로 표시한다.

출처·착안: Integration By Parts 1. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.