같은 단위의 수직 좌표축에서 네 꼭짓점이 모두 정수 좌표인 정사각형을 그린다. 넓이3인 정사각형은 가능한가? 넓이2인 경우도 비교하라.
한 변의 이동량을(p,q)라 하면 다음 변은(−q,p) 또는(q,−p)이고 넓이는
넓이3이라면 p²+q²=3이어야 한다. 정수 제곱 중3 이하인 것은0,1뿐이라 합은0,1,2까지만 나온다. 넓이3은 불가능하다.
변 길이를 정수로 요구한 것은 아니다
넓이2는(0,0),(1,1),(0,2),(−1,1)로 가능하다. 네 변 길이는√2이고 이웃한 변은 수직이다. 변 길이가 정수가 아니어도 꼭짓점은 정수 좌표가 된다.
넓이가 정수라는 조건은 필요한 조건이지만 충분하지 않다. 두 정수 제곱의 합으로 나타나는지까지 검사해야 한다. 반대로 p,q를 찾으면 네 점(0,0),(p,q),(p−q,p+q),(−q,p)을 사용하여 실제 정사각형을 만들 수 있다.
이 구성은 p=q=0인 넓이0을 제외한다. 네 꼭짓점이 서로 다른 정사각형을 요구하므로 변의 길이는 양수여야 한다. 넓이3을 만들지 못한 이유를 세 번째 점을 더 잘 찾으면 된다는 식으로 설명하지 않는다.
교사는 넓이를 정수로 준 문항과 변 길이를 정수로 준 문항을 따로 준비한다. 둘 다 숫자3 같은 수로 보일 수 있지만 제곱합 조건이 붙는 대상이 다르다. 정수 좌표 조건을 거리 자체가 정수라는 조건으로 잘못 옮긴 답안도 넓이2의 실제 예로 확인할 수 있다.
출처·착안: Anne Watson, 「Lines and Angles on Square Grids」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.