양의 정수 a,b가 a≤b이고 다음 식을 만족한다. 모든 (a,b)를 구하라.
아무 상한 없이 a,b를 차례로 대입하면 언제 끝내도 되는지 알기 어렵다. 먼저 두 항이 양수이므로 a>3,b>3임을 확인한다. 분모를 곱해 정리하면
두 괄호는 양의 정수이며 첫째가 둘째보다 크지 않다. 가능한 곱은1×9와3×3뿐이므로 답은 (4,12),(6,6)이다. 각각1/4+1/12=1/3,1/6+1/6=1/3으로 검산된다.
교사는 답 두 쌍을 찾았는지와 다른 쌍이 없다는 설명을 함께 확인한다. 두 예를 우연히 발견한 것만으로 전체 답을 구했다고 볼 수 없다.9를 만드는 양의 정수 곱을 끝까지 적었다는 이유가 목록의 완성을 보장한다.
a≤b를 빼면 (12,4)가 추가되어 순서쌍은3개다. 분수의 합이 같아도 순서쌍을 구별하는 조건이 결과 개수를 바꾼다. a<b라고 바꾸면 (6,6)은 제외되어1개다.
정리한 곱의 두 괄호가 양수인지 확인하지 않으면 음수인 곱−1×−9도 목록에 넣기 쉽다. 원래 식에서 얻은 a>3이라는 조건을 변형 뒤에도 유지한다. 식의 변형과 결과의 범위가 함께 있어야 모든 해를 정확히 셀 수 있다.
원래 식의 분모는 양의 정수라서0이 될 수 없다. 분모를 곱한 뒤 얻은 두 쌍도 이 조건을 만족하는지 마지막에 대입하여 확인한다. 식만 정리하고 정수라는 조건을 없애면 더 많은 실수쌍이 생긴다.
출처·착안: Colleen Young, 「Systematic Listing Strategies」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.