x3+y3+z3=3xyz(x,y,z∈R)
이 조건에서 x+y+z=0이라고 결론 내린 답을 검토한다. x=y=z=1을 넣으면 세제곱의 합과 3xyz는 모두 3이지만 합은 3이다. 역의 주장은 거짓이다.
왼쪽에서 오른쪽을 뺀 식을 인수분해하면 빠진 경우를 찾을 수 있다.
x3+y3+z3−3xyzx2+y2+z2−xy−yz−zx=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx),=2(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2.
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)⋅(x2+y2+z2−xy−yz−zx),x2+y2+z2−xy−yz−zx=2(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2.
실수에서 둘째 인수가 0이 되는 것은 x=y=z인 경우다. 따라서 정확한 결론은 x+y+z=0이거나 x=y=z이다. 두 경우가 겹치는 것은 세 수가 모두 0일 때다.
첫 인수만 0으로 둔 답에는 둘째 인수가 0일 가능성을 확인하게 한다. 반대로 x+y+z=0이면 처음 등식은 항상 성립한다. 인수분해는 한 방향의 충분조건을 알아내는 데서 끝나지 않고, 곱이 0이 되는 모든 경우를 읽는 데 쓰인다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Factoring Polynomials Using the Box Method Directions」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.
