수렴하는 양수 급수에 감소 조건을 더하면 n을 곱한 항도 0으로 간다

a_n>0,\quad a_{n+1}\le a_n,\qquad\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{는 수렴한다.}

이 조건에서 na_n→0을 증명하라. 급수의 수렴으로 a_n→0임만 쓴 답에는 n이 커지는 비율을 어떻게 처리했는지 묻는다.

S_n을 n항까지의 부분합이라 하자. 감소 조건 때문에 n+1항부터2n항까지 각각 a_{2n} 이상이다. 따라서

0\le2n a_{2n}\le2(S_{2n}-S_n).

홀수 번호도 n+1항부터2n+1항까지 n+1개가 a_{2n+1} 이상이므로

0\le(2n+1)a_{2n+1}\le2(S_{2n+1}-S_n).

부분합은 같은 유한한 값으로 수렴하므로 두 오른쪽 식은0으로 간다. 짝수 번호와 홀수 번호를 함께 보았으므로 모든 na_n이0으로 간다.

이번 증명에서 감소 조건은 항 하나를 그 뒤 여러 항의 합과 비교하는 데 쓰였다. a_n→0이라는 사실만으로 n을 곱한 극한을 정할 수는 없다. 채점에서는 부분합의 차가0으로 가는 줄과 각 항이 마지막 항 이상이라는 줄을 모두 찾는다. 둘 중 하나만으로 결론이 나오지는 않는다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Good Question 14」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.