공정한 동전을 독립적으로 던지되 첫 앞면이 나오면 멈추고 최대 세 번까지만 던진다. 종료한 기록의 앞면 비율을 R이라 한다. R의 평균을 구하라.
실제로 종료한 네 기록의 길이가 달라 같은 확률로 셀 수 없다. 각 기록의 앞면 비율은1,1/2,1/3,0이다.
동전 한 번의 앞면 확률1/2와 종료한 기록의 비율 평균은 다르다. 짧게 끝난 앞면 기록은 비율1을 가지며 가장 자주 나타난다.
처음부터 세 번을 모두 던진 기록의 앞면 수를3으로 나누면 평균1/2다. 그러나 현재의 R은 사용한 던짐 횟수를 분모로 쓴다. 기록에 따라 분모가 바뀌는 것이 중요한 조건이다.
TTT에서는 앞면이 없으므로 비율0이고 던짐 횟수는3이다. 성공한 세 기록만 남긴 뒤 평균을 구하면 다른 조건부 평균이 된다. 그 값은(2/3)/(7/8)=16/21로 현재 정답2/3이 아니다.
교사는 ‘공정한 동전이니 관측 비율의 평균도1/2’라고 한 답안을 검토한다. 동전의 확률 조건은 유지되지만 관측을 끝내는 규칙이 비율의 분포를 바꾼다. 마지막 기록TTT까지 포함한 전체 분포를 먼저 적어야 한다.
세 번의 동전 결과 여덟 개를 미리 적어 종료 시점까지만 읽어도 같은 계산을 할 수 있다. 첫H인 여덟 기록의 네 개는 모두 R=1이고, TH로 시작한 두 개는 R=1/2다. 전체 기록과 종료 기록의 확률을 연결한다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#99: Independence Day (part 2)」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.