번호1,2,3,4 중 I,J를 각각 같은 확률로 독립적으로 고른다. I=J이면 J를 바로 다음 번호로 바꾼다.4의 다음은1이다. 최종 두 번호의 순서를 지워 두 사람을 뽑는다. 여섯 쌍의 확률은 모두1/6인가?
처음 순서쌍16개는 같은 확률이다. 최종 쌍 {1,2}는 (1,2),(2,1),(1,1)에서 만들어지므로3/16이다. 반면 {1,3}은 (1,3),(3,1)에서만 만들어져2/16이다.
확률의 합은4×3/16+2×2/16=1이다. 같은 번호를 다른 번호로 바꾸어 서로 다른 두 사람을 만들기는 했지만 여섯 쌍을 같은 확률로 만들지는 않았다.
교사는 수정 전의 무작위 규칙과 수정 뒤 결과를 나누어 기록한다. I,J를 공정하게 골랐다는 조건은 출발점의16개 순서쌍에 적용된다. 여러 출발점이 한 최종 쌍으로 모이는 개수가 같아야 최종 선택도 균등하다.
최종 번호들의 순서를 지우는 단계도 남긴다. {1,4}에는 (1,4),(4,1),(4,4)가 들어간다. 번호의 끝에서 다음 번호를1로 돌리는 규칙을 빠뜨리면 다른 확률표가 나온다.
여섯 쌍의 목록에서 직접 한 쌍을 같은 확률로 고르면1/6이다. 이 대안과 비교하면 가능한 쌍이 모두 생긴다는 조건만으로 같은 확률을 보장할 수 없다는 점이 분명해진다.
추첨 절차를 다시 실행한 횟수와 한 번 실행한 결과의 확률도 구별한다. 같은 번호를 버리고 전체 순서쌍을 새로 고르는 방식은 여기의 다음 번호 수정과 다른 절차다. 결과를 세기 전 수정 규칙을 끝까지 기록한다.
출처·착안: Dr Nic, 「Open Letter to Khan Academy about Basic Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.