정수 가로 좌표 0,1,2,3에 놓인 목표점의 높이를 비교한다. 두 그래프가 이 목표점을 모두 함께 지난다면 경로 전체도 같다고 할 수 있는가? 정수가 아닌 가로 좌표에서 반례를 찾아라.
정수 n에서는 두 각의 차가 (7π/3−π/3)n=2πn이다. 사인값은 2π의 정수배만큼 각을 바꿔도 같으므로 정수 목표점의 높이는 모두 일치한다. 그러나 x=1/2에서는 두 각이 π/6과 7π/6이므로 높이는 각각 1/2과 −1/2이다. 느린 파동과 빠른 파동은 같은 정수 눈금에서 같은 값으로 관측될 수 있다. 목표점 몇 개를 맞췄다는 사실과 그 사이의 경로까지 일치한다는 결론을 구분해야 한다. 여기서는 그래프 비교만 다루며 실제 공의 이동 가능성이나 안전성을 이 계산만으로 판단하지 않는다. 사인함수의 주기 2π 때문에 정수 입력에서 두 함수값이 같아진다.
교사 질문: 별을 x=1/2에도 하나 더 놓으면 두 경로를 구별할 수 있다. 관측점을 어디에 추가할지 학생이 정하게 하자.
출처·착안: New Activity: Marbleslides. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.