두 번 곱해도 같은 행렬은 입력을 두 종류로 나눌 수 있다

A^2=A,\qquad v=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}.

A는 성분이 실수인2행2열 행렬이고 v는 임의의2행1열 행렬이다. v를 u+w로 나누되 Au=u, Aw=O가 되게 할 수 있는지, 그런 분해가 하나뿐인지 증명하라. 여기서 O는2행1열 영행렬이다.

u=Av, w=v−Av로 놓으면 합이v다. A²=A이므로 Au=A²v=Av=u이고 Aw=Av−A²v=O다. 따라서 언제나 가능하다.

\boxed{u=Av,\qquad w=v-Av.}

다른 분해 v=u₁+w₁도 Au₁=u₁, Aw₁=O를 만족한다면 양쪽에 A를 곱하여 Av=u₁을 얻는다. 이어 w₁=v−Av다. 따라서 가능한 분해는 하나뿐이다.

A=[[1,0],[0,0]]이면 (p,q)를 (p,0)과(0,q)로 나눈다. A가 영행렬일 때는 u=O,w=v이고 단위행렬일 때는 u=v,w=O다. 두 특별한 경우도 같은 식으로 포함된다.

학생이 A²=A를 보고 A=E라고 주장하면 모든 입력을 그대로 두는 조건 Au=u와, 한 번 곱한 결과 Av를 그대로 두는 조건을 비교하게 한다. 이 문항은 계산 예 하나를 넘어 임의의 입력에서 남는 부분과 사라지는 부분을 정확히 정한다.

출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.