t,s는 각각 모든 실수다. 두 직선 위 두 점 사이의 거리의 최솟값을 구하라. t=s=0일 때의 거리√5를 답으로 써도 되는가?
두 제곱을 동시에0으로 만들면 1+s−t=0,s+t=0이다. 따라서 t=1/2,s=−1/2이며 P=(1/2,1/2,0), Q=(1/2,1/2,2)다. 최단거리는2다.
두 직선은 z좌표가 각각0,2이므로 만나지 않는다. 방향벡터 (1,1,0),(1,−1,0)는 서로 평행하지 않으므로 꼬인 위치다. 어느 두 점을 골라도 z좌표 차이2가 남고, 나머지 두 좌표 차이까지0으로 만들 수 있을 때 거리2가 실제로 얻어진다.
기준점 (0,0,0),(1,0,2)의 거리√5는 허용된 두 점을 골라 계산한 값이다. 최솟값이라고 하려면 모든 다른 점쌍보다 가깝다는 확인이 더 필요하다. 식에 적힌 기준점은 직선을 표현하기 위한 선택이며 가장 가까운 점으로 정해진 것이 아니다.
교사는 부등식에서 아래쪽 한계2를 얻은 단계와, 그 한계를 이루는 두 점을 찾은 단계를 나누어 본다. 제곱합이4 이상이라는 말만으로 거리2가 실제 가능한지는 아직 확인되지 않는다.
찾은 두 점을 각각의 직선식에 대입하고 연결 벡터 (0,0,2)가 두 방향벡터 모두와 내적0인지 검산한다. 최단 선분의 방향까지 같은 계산으로 확인할 수 있다. 시작점 두 개의 거리를 잰 답과 움직이는 두 점의 최소를 구한 답을 구별한다.
두 실수를 각각 선택할 수 있다는 조건을 끝까지 유지한다. t와s를 같은 값으로 묶으면 가장 가까운 두 점을 놓친다.
출처·착안: あぶらげ, 「TDで勉強する数学」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.