P=(3,4,5), 평면 α:x=0, β:y=0이 주어진다. 두 평면의 교선 l까지 거리를 구하라.
“둘 다 만나려면 더 큰 거리만큼 가면 되므로 d(P,l)=4”라는 답을 검토한다.
교선의 점은 Q=(0,0,t)다. 두 점 사이 거리의 제곱은
t=5에서 가장 작고 거리는5다. 가장 가까운 점은(0,0,5)다.
두 조건을 동시에 만족하는 점
α로 가는 가장 가까운 점은(0,4,5)다. 이 점은 β 위에 있지 않다. β로 가는 가장 가까운 점(3,0,5)도 α 위에 있지 않다. 각 평면까지 따로 가는 두 답을 교선까지 가는 하나의 이동으로 읽지 않는다.
같은 z좌표를 유지한 채 x와 y를 모두0으로 바꾸어야 한다. 이 두 이동은 서로 수직이라 길이는3+4도 아니고 큰 값4도 아닌√(3²+4²)다. 공간의 세 번째 좌표를 버린 것이 아니라 가장 가까운 교선 점의 t를 선택해 그 차를0으로 만든 것이다.
수업에서는 거리3,4를 맞게 구한 줄은 남기고 각 줄의 수선의 발 좌표를 추가하게 한다. 두 발이 서로 다른 점이라는 사실을 보면 큰 거리만 택한 설명의 문제가 드러난다. 교선에 가까운 점을 구했다는 답에는 그 점이 두 평면식을 모두 만족하는지도 확인한다.
두 평면이 서로 수직이라는 조건이 이 제곱합 계산의 배경이다. 임의의 두 평면에 숫자3,4가 주어졌다고 무조건5를 쓰지는 않는다. 이번 문항의 좌표식이 그 위치관계를 명확히 정한다.
출처·착안: とろたま, 「【高校数学】体系化６：ベクトル，複素数平面など」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.