음수 계수로 점수를 바꾸면 성공 조건의 방향도 바뀐다

공정한 동전을 독립적으로 네 번 던져 앞면 수를 X라 한다. 점수를 Y=5−2X로 정한다. Y≥1일 확률과 Y>1일 확률을 각각 구하라.

음수−2로 나누면서 부등호 방향을 바꾼다. X는 정수이므로 둘째 조건은 X≤1이다.

두 확률의 차이6/16은 점수가 정확히1인 기록의 확률이다. 그때 앞면은 정확히 두 번이며 네 자리 중 두 자리를 고르는6가지가 있다.

‘같은 점수 기준에서 ≥와 >는 거의 같다’는 설명은 여기서 맞지 않는다. X가 이산확률변수이기 때문에 경계에 해당하는 결과가 양의 확률을 가진다. 양변의 부등호를 엄격하게 바꾼 것만으로 전체 확률이 크게 달라진다.

교사는 사건을 X의 조건으로 바꾼 줄을 먼저 확인한다. 이항분포 표를 정확히 계산해도 Y≥1을 X≥2로 고르면 다른 사건의 확률을 구한 것이다. 계산의 정확성과 사건의 정확성을 따로 본다.

점수 변환식의 부호가 바뀌면 높은 점수가 앞면이 적은 기록을 뜻할 수도 있다. Y의 평균이나 분산을 구하는 문항과 달리, 성공 조건을 묻는 문항에서는 부등호와 경계의 포함 여부까지 변환해야 한다.

앞면 두 번인 기록 하나를 직접 적어 점수가1임을 확인할 수 있다. 그 기록은 ≥1에 포함되고 >1에는 빠진다. 기호 차이가 실제 시행의 포함 여부를 바꾼다.

계산 뒤 네 번 모두 앞면인 기록의 점수−3도 확인한다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#50 Which tire?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.