모형에서 길이 X를 cm로 나타낼 때 평균170, 표준편차10이다. 같은 길이를 m로 나타낸 Y=X/100의 평균과 표준편차를 구하고,180cm인 값과1.8m인 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어졌는지 비교하라.
두 값의 비교는 모두1이다.
단위가 바뀌면 값과 평균뿐 아니라 표준편차도 같은 비율로 바뀐다. 값만1.8로 바꾸고 평균170과 표준편차10을 그대로 두면 서로 다른 단위를 한 식에 섞은 것이다.
일반적으로 a>0이고 Y=aX+b라면 평균은aµ+b, 표준편차는aσ다. 따라서 σ>0일 때
원래 길이와 평균 사이의 차이도 표준편차도 a배가 되므로 비율은 유지된다. 평균을 옮기는 b는 분자에서 사라진다.
교사는 두 단위의 계산 결과가 같은지 확인하는 것과 실제 확률을 구하는 일을 구별한다. 이 문항은 정규분포를 가정하지 않았으므로1이라는 값만으로 상위 비율을 정규분포표에서 읽지 않는다. 비율 계산에 필요한 평균·표준편차와 분포 모형의 전제는 다르다.
후속 질문은 a<0인 점수 변환이다. 표준편차는 |a|σ이므로 같은 계산의 부호가 반대로 된다. 길이 단위 변경처럼 양수 배율인 경우와 구별하여 평균 위·아래의 방향을 확인한다.
단위는 값 옆에 적고 비율을 만든 뒤에는 사라지는지 확인한다. 분자와 분모가 같은 길이 단위여야 이 비교가 가능하다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Notes for Introducing Z-Scores」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.