실수 입력의 실수값과 모든 복소수 입력의 실수값은 다른 조건이다

P(z)\in\mathbb R\qquad\text{모든 복소수 }z.

P는 복소수 계수 다항식이다. 가능한 P를 모두 구하라. 계수가 모두 실수이면 충분하다는 답을 검토한다.

먼저 실수 x를 넣은 P(x)의 허수부가 항상0이다. 각 계수의 허수부로 만든 실수 다항식이 모든 x에서0이므로 각 계수의 허수부도0이다. 따라서 계수는 모두 실수다.

하지만 여기서 끝나지 않는다. 실수 x를 고정하고 P(x+iy)를 y의 다항식으로 전개한다. 허수부에서 y의 일차항 계수는 P′(x)다. 모든 실수 y에서 허수부가0이어야 하므로 P′(x)=0이다. 이는 모든 x에 적용되어 P는 상수다.

\boxed{P(z)=c\qquad(c\in\mathbb R).}

모든 실수 상수는 실제 조건에 맞는다. 실수 입력만 요구했다면 P=z² 같은 다항식도 가능하지만, z=1+i에서는 P=2i로 조건을 위반한다. 입력 범위를 복소수 전체로 준 줄을 실수 계수 조건으로 바꿔 읽지 않는다.