행을 바꾸는 것과 열을 바꾸는 것은 같은 방정식 정리가 아니다

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}5\\11\end{pmatrix},\quad S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.

x,y는 실수이고 AX=b다. 두 학생이 각각 (SA)X=Sb와 (AS)X=b로 고쳐도 같은 해라고 했다. X의 첫 성분은 x, 둘째 성분은 y로 유지하여 판단하라.

원래 식은 x+2y=5, 3x+4y=11이므로 x=1,y=2다. 왼쪽에 S를 곱하면 두 행의 순서가 바뀐다.

SA=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix},\qquad Sb=\begin{pmatrix}11\\5\end{pmatrix}.

(SA)X=Sb는 같은 두 방정식의 순서만 바뀌어 해가 같다. 반면 AS는 두 열의 순서를 바꾼다.

AS=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix},\qquad \begin{cases}2x+y=5\\4x+3y=11\end{cases}

새 해는 x=2,y=1이다. 계수를 옮기고도 미지수 이름을 그대로 두었으므로 원래 식과 다르다.

둘째 학생이 미지수 순서까지 X₁=SX로 바꾸면 (AS)X₁=A(S²)X=AX=b가 된다. 여기서 S²는 단위행렬이다. ‘행렬 모양만 바꿨다’는 설명에 어느 식의 순서가 바뀌었는지, 어느 미지수의 자리가 바뀌었는지 표시하게 한다.

출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.