확인한 평균끼리 뺐는데 한 학생의 향상 점수와 다르다

세 학생의 시험 전·후 점수는 다음과 같다. 빈칸은 미확인 값이다.

확인한 전 점수 평균은8, 확인한 후 점수 평균은11이다. 이 차3을 “전후 점수가 모두 확인된 학생의 평균 향상”이라고 써도 되는가?

전후 모두 확인된 학생은 A뿐이며 향상 점수는9−5=4다. 평균의 차3은 A,B의 전 평균과 A,C의 후 평균을 뺀 것이다. 같은 학생 집단의 전·후 평균을 뺀 계산이 아니다.

세 학생 모두의 평균 향상도 아직 모른다. B의 후 점수를 u, C의 전 점수를 v라 하면

u,v가 모두10이라면2이고, u=14,v=11이라면3이다. 확인된 표는 어느 값을 강제하지 않는다. 두 예의 점수들은 모두0~20 안에 놓인다.

교사는 평균을 계산한 뒤 학생 목록도 함께 남긴다. 자료 수가 전후 모두2라는 사실만으로 같은 집단이라고 할 수 없다. 누구의 값이 빠졌는지를 확인해야 평균의 차를 같은 학생의 변화로 읽을 수 있다.

같은 학생 n명에게 전후 점수가 모두 있으면 차들의 평균은 후 평균에서 전 평균을 뺀 값과 같다. 이 성질을 적용하려면 두 합에 같은 이름들이 한 번씩 들어가야 한다. 빈칸을 제외하는 처리에서 이 조건이 깨진다.

채점에서는 계산8·11이 맞았는지와 그 차의 설명이 맞았는지를 나누어 본다. 산술이 맞아도 대상을 바꿔 읽은 결론은 수정해야 한다.

출처·착안: Dr Nic, 「Giving students dirty data」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.