실수 계수 다항식P를 구한다. 1,2,4,8이라는 값이 이어지므로 그 값을 갖는 다항식도 만들 수 있다는 설명을 확인한다.
P가 상수가 아니라면 최고차항이ax^n(a≠0)이다. 입력을x+1로 바꾸어도 최고차항의 계수는a다. 오른쪽2P의 최고차항 계수는2a여서 a=2a라는 모순이 생긴다.
P=C인 상수라면 C=2C이므로 C=0이다. 이 경우도 P(0)=1을 만족하지 않는다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 다항식은 없다.
일반 함수f(x)=2^x는 두 조건을 모두 만족한다. 이 사실이 다항식의 존재까지 보장하지 않는다. 유한한 몇 입력의 값을 맞춘 다항식과 모든 실수 입력에서의 이동 관계는 다른 요구다.
표의 값들을 이어 보았다는 이유만으로 함수의 종류를 확정하지 않는다. 다항식이라는 가정이 최고차항 비교에 쓰인 줄을 표시하면, 지수함수가 가능한 것과 다항식이 불가능한 것을 함께 설명할 수 있다.
출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising Harder Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.