두 사람의 생일이 서로 독립이고, 날짜 i에 태어날 확률을 pᵢ라고 하자. 윤일을 제외한 365개 날짜에서 Σpᵢ=1이다. 두 생일이 같을 확률은 항상 1/365인가?
특정 날짜 i에서 두 생일이 만날 확률은 pᵢ²이다. 날짜별 일치 사건은 서로 배반이므로 전체 확률은 Σpᵢ²가 된다.
따라서 같은 생일의 확률은 1/365 이상이며, 모든 날짜의 확률이 1/365일 때에만 등호가 성립한다. 독립성만으로 날짜의 균등성까지 얻을 수는 없다.
계산을 작은 모형에서 확인해 보자. 가능한 날짜가 두 개이고 확률이 0.9, 0.1이라면 일치 확률은 0.9²+0.1²=0.82이다. 균등한 두 날짜에서는 0.5이므로 분포의 집중이 일치 확률을 높인다.
SUMA 원문은 생일 일치 문제를 반복 실험으로 탐구한다. 이 글은 실제 출생 통계를 주장하지 않고, 확률 모형의 가정을 바꾸어 정확한 계산으로 비교한다. 교사는 ‘독립’과 ‘균등’이 풀이의 어느 줄에서 각각 사용되는지 표시하게 할 수 있다.
출처·착안: Qué hacer en probabilidad cuando no se sabe qué hacer SUMA 91. 문항과 풀이, 도식은 새로 작성했다.