f는[0,1]에서 연속이고 내부에서 미분가능하다. 모든 시작 구간[0,x]의 함수값의 평균이 f(x)라는 조건이다. 가능한 함수를 모두 구한다.
0<x<1에서 양변을 미분하면 f(x)+xf′(x)=f(x)다. 정적분으로 정의한 함수의 미분에는 f의 연속성을 사용했다. x가0이 아니므로 f′(x)=0이다.
평균값 정리에 따라 f는(0,1)에서 상수다. 양 끝에서도 연속이므로 같은 상수값을 갖는다. 따라서 가능한 함수는 f(x)=C인 모든 상수함수다. 직접 대입하면 xC=∫_0^xC dt라서 충분함도 확인된다.
한 구간에서만 평균과 끝값이 같다는 조건은 같은 결론을 주지 않는다. f(x)=x²−4x/3을 예로 들면 f(1)=−1/3이고0부터1까지의 정적분도−1/3이지만 상수함수는 아니다.
핵심은 ‘모든 x’라는 조건이다. 하나의 등식에 대해 미분한 것이 아니라 구간 전체에서 성립하는 두 함수의 등식을 미분했다. x=0에서 나누지 않은 점과, 끝점은 연속성으로 연결한 점도 풀이에 남긴다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.