첫 앞면에서 멈췄는데, 앞면 수는 B(3,1/2)일까

공정한 동전을 독립적으로 던져 첫 앞면에서 멈추되 최대 3회입니다. N은 던진 횟수, X는 앞면 횟수입니다. 종료 기록 H,TH,TTH,TTT의 확률은 1/2,1/4,1/8,1/8. N=1,2,3의 확률은 1/2,1/4,1/4이고 평균 7/4입니다. X=0,1의 확률은 1/8,7/8, 평균은 7/8입니다. X=2,3이 불가능하므로 B(3,1/2)가 아닙니다.

\text{첫 앞면에서 종료, 최대 3회},\qquad N=\text{던진 횟수},\quad X=\text{앞면 횟수}.

공정한 동전을 독립적으로 던진다. X는 B(3,1/2)를 따르는가? N,X의 확률분포와 평균을 구하라.

종료 기록	확률	N	X
H	1/2	1	1
TH	1/4	2	1
TTH	1/8	3	1
TTT	1/8	3	0

H는 앞면, T는 뒷면이다. 네 종료 기록은 같은 확률이 아니다.

\begin{aligned} P(N=1)&=\tfrac12,&P(N=2)&=\tfrac14,&P(N=3)&=\tfrac14,\\ P(X=0)&=\tfrac18,&P(X=1)&=\tfrac78. \end{aligned}

따라서 E(N)=7/4, E(X)=7/8이다. 첫 앞면에서 멈추므로 X=2,3은 불가능하다. B(3,1/2)에서는 두 값에도 양의 확률이 있다. ‘최대 3회’를 ‘반드시 3회’로 읽은 줄이 오류다. 각 동전 시행의 독립과 성공을 세는 시행수가 고정이라는 조건을 따로 확인한다.

출처·착안: Greedy Pig Dice Game for Practicing Probability. 문항과 풀이는 새로 작성했다.