ln의 입력이 양수인지 확인해도 도함수의 부호는 따로 계산해야 한다

$x=-2$에서의 미분계수를 구하자. “로그 안의 값은 2이므로 기울기는 $1/2$”이라는 답에서 빠진 계산은 무엇일까?

$x=-2$일 때 로그 안의 $-x=2>0$이므로 함수는 정의된다. 정의역 확인은 맞다. 그러나 안쪽 함수 $-x$는 $x$가 증가하면 감소하며, 그 도함수는 $-1$이다.

분모가 양수라는 사실만으로 최종 기울기가 양수가 되지는 않는다. $x$가 -2에서 조금 증가하면 $-x$는 2보다 작아지고, ln의 값도 작아진다. 식과 함수값의 움직임이 같은 음의 기울기를 가리킨다.

이는 $\ln x$에 -2를 넣는 계산과 다르다. $\ln x$는 -2에서 정의되지 않는다. 또 $\ln|x|$는 $x<0$에서 이번 함수와 같지만, $x=0$까지 포함하는 함수가 되지는 않는다. 도함수 $1/x$에도 0은 넣을 수 없다.

정의역 조건과 도함수를 두 줄로 나누어 쓰게 한다. 학생의 $1/2$에서 숫자2는 제대로 골랐음을 남겨 두고, 안쪽 함수의 변화율 $-1$을 추가하게 하면 어느 단계가 빠졌는지 설명할 수 있다.

출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.