매개변수에 따라 복소수 해를 모두 구한다. 켤레복소수를 z와 같게 바꾼 뒤 (1+a)로 나누는 한 줄 풀이가 모든 경우를 담는지 확인한다.
z=u+vi, u,v는 실수로 놓으면 실수부와 허수부에서(1+a)u=b, (1−a)v=0을 얻는다.
a≠1,−1이면 v=0이고 u=b/(1+a)여서 실수 해 하나다. a=1이면 u=b/2지만 v는 임의의 실수다. 허수부가 반드시0이라는 결론을 낼 수 없다.
a=−1이면 실수부 식은0=b다. b≠0일 때는 해가 없고, b=0일 때는 v=0이고 u가 임의여서 모든 실수가 해다.
예를 들어 a=1,b=2에서는 z=1+i도 원래 식을 만족한다. a=−1,b=0에서는 z=3도 해이며, a=−1,b=2에서는 실수부만으로 모순이다.
한 번의 나눗셈으로 정리하기 전에0이 되는 두 계수1+a와1−a를 각각 검사한다. 해가 하나, 없거나 무수히 많은 경우를 같은 답의 형태로 압축하지 않는다.
출처·착안: Toririton, 「Cauchy−Schwarzの不等式をベクトルを使って証明」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.