정육각형의 여섯 꼭짓점 중 서로 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 고른다. 순서 없이 고르는 방법은 몇 가지인가? 대각선의 길이가 같은 경우라도 끝점이 다르면 서로 다른 선택으로 센다.
전체 두 꼭짓점 선택은 ₆C₂=15가지다. 이웃한 두 꼭짓점은 육각형의 여섯 변과 대응하므로 6가지다. 따라서 이웃하지 않은 선택은 15−6=9가지다.
꼭짓점별로 세는 방법도 있다. 한 꼭짓점을 먼저 고르면 자신과 양옆 두 점을 제외한 세 점이 후보다. 여섯 꼭짓점마다 세 후보가 있으니 18이라고 적기 쉽다. 하지만 A를 먼저 고른 뒤 D를 고르는 경우와 D를 먼저 고른 뒤 A를 고르는 경우는 같은 선택이다. 모든 선택이 정확히 두 번 세어졌으므로 18/2=9다.
두 풀이의 차이는 ‘먼저 고른다’라는 임시 순서를 계산에 도입했는가다. 두 번째 풀이가 틀린 것은 아니다. 만든 순서를 마지막에 없애면 된다. 교사 질문은 ‘왜 어떤 쌍은 두 번, 다른 쌍은 한 번 세어지는 일이 없는가’다. 어느 선택도 서로 다른 두 끝점을 가지며, 각 끝점을 첫 점으로 삼는 두 경우가 반드시 있다. 이 문장을 말할 수 있어야 2로 나누는 이유가 된다.
그림에서 대각선을 모두 그려 확인하면 9개다. 이 확인은 답을 외우기 위한 장식이 아니라 빠진 선택이나 중복을 찾는 세 번째 검사다.
착안한 공개 원문: Deconstructing a Lesson Activity – Part 1. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.