실수 λ에 따라 해 a의 개수를 구하라. F=(eᵃ−1)/a라는 식의 분모 때문에 a=0을 제외한 풀이를 검토한다.
a≠0에서는 표시한 분수식이 맞지만 a=0에서는 적분이1이다. a<b이면 0<x≤1에서 eᵃˣ<eᵇˣ이므로 F(a)<F(b)다. 분수식의0 극한도1이어서 F는 실수 전체에서 연속이다.
따라서 λ>0이면 정확히 한 해가 있고, λ≤0이면 없다. 특히 λ=1의 해는 a=0이다. 양수 적분은0에 가까워질 수 있지만 실제0이 되지는 않는다.
매개변수가0이면 함수 자체가 사라지는 것이 아니라 적분할 함수가 상수1로 바뀐다. 분수식에 생긴 예외를 원래 적분의 정의역과 혼동하지 않는다. 해의 정확한 식을 찾지 않아도 연속·증가·양끝 극한으로 개수를 정할 수 있다.
출처·착안: Stephen Cavadino, 「Radical Exponents」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.