타원 x²/9+y²/4=1과 P=(0,5/2), Q=(5/2,0)이 있다. 원점에서 두 점까지 거리가 같으므로 각 점에서 그을 수 있는 접선 수가 같다는 주장을 검토하라.
P를 타원의 식에 넣으면25/16>1로 타원 밖이다. P를 지나는 접선 y=mx+5/2에 접선 조건을 적용하면
따라서 접선 두 개가 있고 접점은(±9/5,8/5)다. 세로 접선 x=±3은 P를 지나지 않는다.
Q는 타원의 식의 값25/36<1로 안쪽이다. Q를 지나는 유한 기울기 직선에 접선 조건을 쓰면
가 되어 실수 해가 없다. 세로 접선도 Q를 지나지 않아 접선은0개다.
OP=OQ=5/2라는 거리 정보는 두 점의 방향을 없앤다. 타원에서는 축 방향마다 경계까지 거리가 달라 같은 원점 거리로 안팎을 판단할 수 없다. 한 반지름 숫자로 안팎을 나누는 원의 기준을 그대로 쓰지 않는다.
교사는 접선 개수를 찾는 단계에서 먼저 점의 위치를 확인한다. 두 점의 좌표가 바뀌었을 뿐이라고 수치를 같게 처리하면 타원의 식의 두 분모가 하는 일을 놓친다.
현재 접점도 직접 검산한다. 81/(25×9)+64/(25×4)=1이며 두 점에서 y=±x/2+5/2가 맞는다. 분류 결과와 실제 접선의 존재를 함께 확인하면 그림의 축척에서 생긴 착각을 줄일 수 있다.
원점 거리가3보다 크면 현재 타원 밖인 것은 맞다. 하지만3보다 작다고 반드시 안쪽은 아니다. P의 거리5/2가 그 역을 반박한다. 충분한 거리 조건을 안팎의 완전한 분류로 바꾸지 않는다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.