꼭짓점(0,0),(2,0),(0,1)인 직각삼각형 타일을 생각한다. 이 타일로 만든 복잡한 그림 하나가 비주기적이라고 가정하자. 이것만으로 주기적인 평면 채우기는 불가능하다고 할 수 있는가? 같은 타일 두 개로2×1 직사각형을 만드는 배치를 구성하라.
삼각형을(1,1/2) 주위로180도 회전하면 꼭짓점은(2,1),(0,1),(2,0)이 된다. 두 삼각형은 대각선(2,0)~(0,1)을 경계로2×1 직사각형을 채운다. 이 직사각형을 가로2, 세로1만큼 반복해 평면을 채울 수 있다.
따라서 같은 타일에 주기 배치가 실제로 존재한다. 비주기적인 그림 하나를 갖고 있다는 가정과 모순되지 않는다. 비주기 배치의 존재를 보이는 일보다 모든 주기 배치가 불가능함을 보이는 조건이 훨씬 강하다.
학생에게 어떤 배치 하나와 모든 배치라는 표현에 표시하게 한다. 작품의 복잡함을 눈으로 보는 대신 반례가 되는 주기 배치를 직접 구성하게 한다.
주기 배치 하나를 찾으면 비주기 배치의 존재까지 반박한 것인가? 두 존재 명제가 동시에 참일 수 있는가?
착안 원문: An aperiodic monotile exists!. 비주기 배치의 존재와 비주기성을 강제하는 타일 조건을 구별했다.