같은 모평균 μ에 대해 서로 독립적으로 두 신뢰구간 C₁,C₂를 만든다. 각 절차가 μ를 포함할 확률을 이 문항에서는 정확히0.95로 가정한다. 두 구간이 서로 겹칠 확률이0.95²라고 계산해도 되는가?
A는 C₁이 μ를 포함, B는 C₂가 μ를 포함하는 사건이라 하자. 두 구간이 모두 μ를 포함할 확률은
이때 두 구간은 공통점 μ를 가지므로 반드시 겹친다. 따라서 겹칠 확률은0.9025 이상이라고 말할 수 있지만 이 수가 정확한 값이라는 근거는 없다.
겹치는 것만으로 μ를 포함하는 것은 아니다. 예를 들어 C₁=[0,2], C₂=[1,3], μ=4라면 두 구간은[1,2]에서 겹치지만 μ는 둘 다에 없다. 이 예는 사건의 포함 관계를 확인하는 가상의 관측 구간이며 실제 조사 결과로 제시하지 않는다.
교사는 모평균을 포함하는지와 구간끼리 공통점을 갖는지를 다른 질문으로 적는다. 같은 μ를 추정한다는 목적이 같아도 두 성공 사건이 같아지지는 않는다. 그림에 μ를 별도 점으로 표시하면 빠진 조건이 보인다.
독립 가정은 두 포함 확률을 곱한 줄에 사용된다. 두 표본을 같은 자료에서 복사해 만들었다면 그 계산을 그대로 사용할 수 없다. 구간이 겹친다는 그림만으로 독립 여부도 판정할 수 없다.
마지막으로0.95라는 정확한 값은 이 문항의 가정이다. 교재의1.96을 사용하는 계산에서는 근사 의미를 함께 읽는다. 수치의 근사 문제와 사건을 잘못 바꾸는 문제를 구별하여 채점한다.
출처·착안: Dr Nic, 「Teaching Confidence Intervals」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.