f는 실수 전체에서 미분가능하다. f가 기함수가 되려면 어떤 조건이 더 필요할까?
H(x)=f(x)+f(−x)로 놓으면 안쪽 −x의 미분에서 음의 부호가 나온다.
임의의 두 실수 사이에서 H는 연속이고 내부에서 미분가능하다. 평균값의 정리에 의해 H는 상수이며, H(0)=2f(0)이다.
따라서 f(x)−f(0)은 기함수이고, f 자체가 기함수일 필요충분조건은 f(0)=0이다.
f(x)=x³+2는 도함수 3x²이 우함수여도 기함수가 아니다. f(x)=x³은 추가 조건까지 만족한다. 도함수의 대칭만으로 높이 상수를 0이라고 놓지 않는다. 합의 미분이 0인 줄 다음에 x=0을 대입한 줄이 있는지 확인한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.