f는0의 근처에서 미분가능하고 f′는0에서 미분가능하다. f″가 근처 전체에서 연속이라는 조건은 없다. 그래도0에서 극소임을 보일 수 있을까?
이계도함수의 정의를 쓰면 다음과 같다.
충분히 작은0이 아닌 h에서는 f′(h)/h>1이다. 따라서 음수 h에서는 f′(h)<0, 양수 h에서는 f′(h)>0이다. 한 점의 이계도함수값을 주변 전체 이계도함수의 부호로 바꾼 것이 아니라, 첫 도함수의 부호를 정의로 얻었다.
평균값 정리로 작은 x≠0에 대해 f(x)−f(0)=f′(c)x인 c가0과 x 사이에 있다. x와 f′(c)의 부호가 같으므로 이 차는 양수다. 따라서0의 근처에서 f(0)이 다른 모든 함수값보다 작다.
이 결론은 극소이며 실수 전체의 최솟값까지 말하지 않는다. 예를 들어 f(x)=x²−x⁴도 두 조건을 만족하지만 멀리서는0보다 작은 값을 갖는다. 판정하는 범위와 도함수의 정의에 필요한 가정을 함께 적는다.
출처·착안: DMoRanSky, 「「高中数学」易错点以及不自然处整理」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.