두 영벡터가 아닌 평면벡터 a,b의 크기는2,3이고 내적은3이다. 같은 시작점에서 두 벡터를 변으로 갖는 삼각형의 넓이를 구하라.
두 길이를 곱한 뒤 절반으로 나누어 넓이를3이라고 쓴 풀이를 검토한다.
두 벡터 사이 각 θ의 코사인은3/(2×3)=1/2라 θ=60°다. 높이에 들어가는 것은 b의 길이3 전체가 아니라3sin60°이다. 따라서 넓이는
곱셈 앞에 수직 조건이 있었는가
길이의 곱을 절반으로 쓰는 것은 두 변이 수직일 때 맞다. 이 문항에서는 내적이0이 아닌3이므로 수직이 아니다. 두 벡터의 크기2,3만 읽으면 빠진 각의 정보를 내적이 제공한다.
실제 예로 a=(2,0),b=(3/2,3√3/2)를 택하면 크기와 내적을 모두 만족한다. 밑변이 가로인 이 그림에서 높이는3√3/2로 직접 확인할 수 있다. 조건의 모순 여부도 함께 검산했다.
벡터를 반대로 놓아 내적을−3으로 바꾸면 각은120°지만 사인값은 같아 넓이는 같다. 내적의 부호가 달라져도 넓이의 부호가 바뀌지는 않는다. 각을60°로 구한 줄과 높이를 사인으로 정한 줄을 따로 채점하면 내적 계산을 맞히고 넓이에서 수직을 가정한 오답을 찾을 수 있다.
넓이의 단위는 길이 단위의 제곱이다. 길이가 양수라는 조건과 각의 사인값도 넓이 계산에 함께 들어간다. 학생이 두 수를 곱한 뒤 어떤 높이를 사용했는지 그림에 표시하면 수직 전제를 넣은 지점을 찾을 수 있다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.