구간별 개수만 남긴 네 자료의 평균은 정확히 10일까

네 실수 자료를 아래 두 구간으로 분류했다. 정확한 값은 남아 있지 않다. 구간의 가운데 값5와15를 사용하면 평균10이므로 원래 평균도 반드시10인가?

반드시10은 아니다.0,0,10,10은 이 표를 만들면서 평균5다.9,9,19,19도 같은 표를 만들지만 평균14다. 구간의 가운데 값으로 대체한 계산은 실제 네 값을 복원한 것이 아니다.

전체 합은 적어도0+0+10+10=20이고 두 구간의 윗끝10,10,20,20을 더한60보다 작다. 따라서 네 자료의 평균은5 이상15 미만이다. 아래끝은 포함하므로5가 가능하고 위끝은 제외하므로15는 불가능하다. 그 사이 임의의 평균 m은 자료 (m−5,m−5,m+5,m+5)로 실제 만들 수 있다.

교사는 평균10이라는 계산을 근삿값을 구한 결과인지 정확한 평균이라고 주장한 결과인지 확인한다. 구간마다 값이 가운데에 있다는 추가 정보가 있다면 정확히10이지만, 개수 표만으로는 그 정보를 얻지 못한다.

이 문제에서는 각 구간 안의 값이 균등하게 퍼진다고 가정하지 않았다. 알려지지 않은 분포 가정을 덧붙여 실제 평균을 확정하지 않도록 한다. 서로 다른 두 자료를 직접 만들어 같은 표인지 검산하면 정보가 사라진 부분을 확인할 수 있다.

문항 준비에서는 구간 끝의 포함 여부를 명시한다. 최댓값15가 있느냐고 묻는다면 단순한 가운데 값 계산보다 부등식의 등호가 중요한 답의 조건이 된다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Boxplot and Histogram Card Sort Activity」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.