한 반례를 찾았을 때 부정해야 할 명제는 어느 것인가

p:x^3=x,\qquad q:x=0\qquad(x\in\mathbb R)

x=1을 넣어 q가 거짓임을 확인했다. 이 값으로 q 자체가 항상 거짓이라고 말할 수 있을까? p→q를 부정한 것과 q를 모든 값에서 부정한 것을 나눈다.

x=1에서는 p가 참이고 q가 거짓이다. 따라서 “p를 만족하는 모든 실수에서 q도 성립한다”는 명제 p→q는 거짓이다.

하지만 x=0에서는 p와 q가 둘 다 참이다. p의 가정 안에서도 q가 참인 경우가 있으므로 q가 언제나 거짓이라는 결론은 나오지 않는다.

x^3=x\iff x(x-1)(x+1)=0\iff x=-1,0,1.

세 해 중 −1과 1은 q에 실패하고 0은 q에 성공한다. 반례가 두 개라는 사실은 p→q의 거짓을 보강하지만, 남아 있는 성공 값까지 없애지는 않는다.

반례는 모든 경우 성립한다는 주장에 한 번의 실패를 제시한다. 실패한 결론이 모든 대상에서 거짓이라는 더 강한 주장을 증명하지 않는다. 오답 수정에서는 반례 계산을 지우기보다, 그 계산으로 부정할 수 있는 문장의 범위를 정확히 고쳐 적게 한다.