합성함수가 증가하면 안쪽과 바깥 함수에 같은 결론을 줄까

h(x)=f(g(x)),\qquad x_1<x_2\Rightarrow h(x_1)<h(x_2)\quad(x_1,x_2\in\mathbb R).

f,g는 실수 전체에서 실수로 가는 함수다. h가 위 의미로 증가하면 f와 g가 모두 일대일함수인지 검토한다.

g는 반드시 일대일함수다. 서로 다른 두 입력에서 g의 값이 같으면 그 값을 f에 넣은 h의 값도 같다. 이는 h의 엄격한 증가와 맞지 않는다.

하지만 f가 실수 전체에서 일대일일 필요는 없다.

f(t)=t^2,\qquad g(x)=e^x,\qquad h(x)=e^{2x}.

h는 증가하지만 f(1)=f(−1)=1이다. g의 값은 양수만 나오므로 f의 음수 입력과 양수 입력이 같은 값을 갖는 문제는 이 합성에서 나타나지 않는다.

정확히는 f가 g의 치역 안에서 같은 값을 갖는 서로 다른 두 값을 보내서는 안 된다. 합성함수의 증가가 바깥함수의 모든 실수 입력을 검사한 것은 아니다.

채점에서는 안쪽의 중복 출력이 바로 합성의 중복으로 이어지는 증명과, 바깥함수에서 합성에 실제 사용되는 입력 범위를 따로 확인한다. 두 함수에 같은 표시를 붙이기 전에 각 역할을 구별한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.