f,g는 실수 전체에서 미분가능하다. 어떤 상수C에 대해 f=Cg라고 결론 내릴 수 있을까? g가0이 되는 입력을 확인한다.
g(x)=x²이고 f(x)를 x≥0에서는x², x<0에서는2x²로 정의한다.0에서 두 함수의 미분계수는0이다.0 이외의 각 구간에서도 주어진 두 항은 서로 같아 차가0이다.
하지만 x=1에서는 f/g=1, x=−1에서는 f/g=2여서 실수 전체에 같은C를 둘 수 없다. 분수f/g가0에서 정의되지 않는 것이 비율을 양쪽에서 연결하지 못하게 한다.
g(x)≠0을 실수 전체에서 추가하면 결론이 맞다. 그때 (f/g)′=(f′g−fg′)/g²=0이며 평균값 정리로 f/g는 하나의 상수다.
분수의 도함수 공식을 적용한 계산이 맞아도 분수가 정의되는 구간을 확인해야 한다. 두 함수가 원래는0에서 미분가능하다는 사실만으로 그 비율의 빈점을 없앨 수 없다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.