u를 새 변수로 썼을 때 u가 양수여야 한다는 예시 답을 검토한다. x>0이라는 조건이 차 x−1/x의 부호까지 정하지는 않는다. x=1/2이면 u=−3/2이고 x=1이면 u=0이다.
실제로 u는 모든 실수를 값으로 가질 수 있다. 임의의 실수 u를 정하고 원래 식을 x에 관한 방정식으로 바꾼다.
√(u²+4)>|u|이므로 +를 택한 해는 양수, −를 택한 해는 음수다. 어떤 실수 u에서도 양수 해가 정확히 하나 존재하고 그 해는 0이 아니므로 원래 분수식에 넣을 수 있다.
따라서 치환 뒤에는 u의 부호 제한을 추가하지 않는다. 원래 변수로 돌아올 때에만 양수 해를 고른다. 치환값의 범위를 구하지 않고 원래 x의 범위를 그대로 u에 붙이면 음수 u에서 가능한 해를 지우게 된다.
문항 준비에서는 치환이 계산을 줄이는지와 새 변수의 실제 범위를 따로 확인한다. 같은 x>0 조건이라도 덧셈인지 뺄셈인지에 따라 치환값의 범위는 달라질 수 있다.
출처·착안: Bowen Kerins, 「Factoring Non-Monic Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.