0에서 변곡점인지, 극값을 갖는지 각각 판단하라. 접선 기울기가 0이 아니라서 변곡점이 아니라고 쓴 답을 검토한다.
f′(x)=3x²+1은 모든 실수에서 양수이므로 f는 증가하며 극값을 갖지 않는다. f″(x)=6x는 0의 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수다. 곡선은 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀐다.
접선은 y=x로 기울기가 1이다. f(x)−x=x³이므로 곡선은 왼쪽에서 접선 아래, 오른쪽에서 접선 위다. 수평인 접선과 볼록한 방향의 변화는 다른 성질이다.
그래프에는 변곡점 표시는 남기고 극대·극소 표시는 넣지 않는다. f′와 f″의 부호를 두 행에 적어 어떤 결론에 어느 행을 사용했는지 설명한다. 두 미분 결과가 같은 입력0을 언급해도 역할은 같지 않다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.