접힌 선 두 개로 원 안의 점을 되찾는다

C:x^2+y^2=10,\qquad \ell_1:x=2,\quad \ell_2:y=2.

원 C의 안쪽에 찍은 같은 점 F에 원둘레의 두 점을 각각 겹치게 접었더니 두 자국이 ℓ₁,ℓ₂였다. 경계는 제외한다. F의 좌표를 두 개 구했다는 답안을 검토하라.

F=(u,v)를 각 직선에 대칭시킨 점이 원둘레에 있어야 한다.

Q_1=(4-u,v),\qquad Q_2=(u,4-v)

(4-u)^2+v^2=10,\qquad u^2+(4-v)^2=10.

두 식을 빼면 u=v이고, 대입하면

2(u-1)(u-3)=0.

후보 F	원점까지 거리의 제곱	판정
(1,1)	2<10	원 안쪽
(3,3)	18>10	원 밖

정답은 F=(1,1) 하나다. (3,3)도 두 대칭 조건은 만족하지만 원 안쪽이라는 조건에서 제외된다.

답을 원래 접기로 확인하면 Q₁=(3,1), Q₂=(1,3)이다. 둘 다 원 위에 있고, FQ₁의 중점은 (2,1), FQ₂의 중점은 (1,2)다. 각 선분은 해당 접힌 직선에 수직이므로 실제로 같은 점 F에 겹친다.

두 자국의 교점 (2,2)을 답으로 고르는 풀이도 검토한다. 이 점은 두 직선에 대칭시켜도 그대로이며 2²+2²≠10이라 원둘레의 점에 대응하지 않는다. 문항에는 두 번 모두 같은 F를 사용했다는 말과 원 내부 조건을 남긴다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Paper Folding an Ellipse」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.