법선벡터를 반대로 잡으면 두 평면의 작은 각도 달라질까

법선벡터 (1,0,0), (−1,1,0)가 이루는 각은 135°다. 두 평면이 이루는 두 각 중 작은 각도 135°인가?

작은 각은 45°다. 법선벡터의 내적으로 계산한 135°는 선택한 두 벡터의 방향 사이의 각이다. 평면 β를 같은 식 x−y=0으로 쓰면 법선벡터를 (1,−1,0)으로 택할 수 있고, 이때 법선 사이의 각은 45°가 된다.

법선의 방향을 뒤집어도 평면은 그대로이므로 평면의 작은 각은 바뀌지 않는다. 위 식의 절댓값은 서로 반대인 법선 선택에 영향을 받지 않도록 한 것이다. 135°와 45°는 합이 180°인 두 각을 가리킨다.

교사는 문제에서 어느 각을 구하라고 했는지 먼저 적는다. 특정 반평면 사이의 이면각을 지정했다면 그 방향을 따라야 하지만, 두 평면 사이의 작은 각을 물었다면 법선 선택 하나로 얻은 둔각을 그대로 답하지 않는다. 대상과 각의 범위를 함께 확인해야 한다.

두 평면은 z축을 공통으로 포함한다. z축에 수직인 xy평면에서 교선들을 보면 y축과 y=x가 이루는 작은 각이 45°임을 그림으로도 확인할 수 있다. 공간의 그림과 법선 계산이 같은 답을 설명하는지 비교한다.

답안에서 내적 −1이라는 계산은 정확하다. 수정할 부분은 그 계산이 가리키는 각을 문제에서 요구한 작은 각과 같다고 판단한 문장이다.

법선벡터는 평면마다 하나로 고정되지 않는다. 반대 방향도 같은 평면에 수직이다.

출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.