두 원 C₁:x²+y²=4, C₂:x²+y²+λx=4의 교점 개수를 λ의 값에 따라 구하라. λ는 실수다.
λ≠0이면 x=0이다. 첫 원에 대입하여 y=±2를 얻으므로 교점은(0,2),(0,−2)의 두 개다. 이때 두 점을 둘째 원에도 대입하면 실제 교점임을 확인할 수 있다.
λ=0이면 두 원의 식이 같다. 뺀 식은0=0이 되어 새로운 제한을 주지 않는다. 따라서 교점이 없는 것이 아니라 원 위의 모든 점이 공통점이다.
두 원을 각각 완전제곱으로 쓰면 둘째 원의 중심은(−λ/2,0), 반지름의 제곱은4+λ²/4다. 모든 실수 λ에서 실제 원이므로 어떤 경우를 반지름 조건 때문에 제외할 필요는 없다.
교사는 λx=0을 모든 경우에 x=0으로 바꾼 답안을 살펴본다. 곱의 식에서 λ가0인지 먼저 확인하지 않으면 두 원이 겹치는 경우의 전체 점을 두 점으로 줄여 버린다. 반대로0=0을 해 없음이라고 읽는 오류도 찾을 수 있다.
이 가족에서 교점이 한 개인 λ는 없다. 두 원이 항상 두 점을 지나며 λ=0일 때만 같은 원이 된다. 교점의 개수가0,1,2라고 익숙한 목록을 적기 전에 식이 같은 경우를 확인해야 한다.
자료를 만드는 경우 서로 다른 두 원이라는 조건을 처음에 붙이면 λ=0은 제외된다. 조건 하나가 정답의 분류를 바꾸므로 풀이 끝에서 그 조건을 되살려 확인한다.
교점 목록을 적은 뒤 같은 원인 경우와 서로 다른 원인 경우를 별도 행으로 둔다. λ=0 한 값이 일반 계산에서 빠지는 이유가 분모 조건임을 기록한다.
출처·착안: コペルくんwithアヤ先生, 「３点を通る円はただ１つに決まる？ 垂直二等分線の不思議」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.