이항분포에서 확률이 가장 큰 값이 두 개일 수도 있다

확률 P(X=k)가 가장 큰 k를 모두 구하라. 평균 5/3을 반올림해 2만 답한 풀이를 검토한다.

이항분포의 식에서 분모를 3⁵=243으로 맞추면 다음 표가 된다.

따라서 k=1과 k=2에서 같은 최대 확률 80/243을 얻는다. 평균을 가장 자주 나오는 한 값으로 읽을 수 없다.

같은 값이 생긴 줄

P(X=1)=5×(1/3)×(2/3)⁴이고 P(X=2)=10×(1/3)²×(2/3)³이다. 성공 한 번을 늘리면 한 경로의 확률은 절반이 되지만 순서의 수가 5에서 10으로 두 배가 된다. 두 변화가 정확히 상쇄된다.

표의 분자를 모두 더하면 243이다. 한 경로의 곱만 써서 16과 8을 비교한 답에서는 성공 위치의 선택을 빠뜨렸다. 평균을 반올림한 답에서는 확률표의 비교 자체를 하지 않았다.

문항에 “모두”라는 말을 남긴다. 최대가 언제나 한 칸이라고 가정하면 정확한 확률을 구해 놓고도 다른 최대를 지울 수 있다. 두 값의 확률이 같다는 사실만으로 최대라고 끝내지도 않고 나머지 네 칸보다 큰지를 함께 확인한다.

실제 다섯 번의 시행에서 1이나 2가 반드시 나온다는 결론도 아니다. 둘을 합한 확률은 160/243으로 1보다 작다. 가장 큰 확률, 평균, 반드시 나오는 결과라는 세 설명은 서로 다르다.

성공 확률이 1/2인 경우의 가운데 막대만 떠올리지 않는다. 지금은 성공과 실패 한 경로의 확률이 같지 않다. 성공 위치의 수와 각 순서의 확률을 곱한 뒤 전체 칸을 비교해야 한다.

출처·착안: Paul Rowlandson, 「Thinking About Probability Trees」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.