수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

최고차항의 계수가 1인 정수 다항식은 정수 아닌 유리수 해를 가질까

최고차항의 계수가 1인 정수 다항식은 정수 아닌 유리수 해를 가질까

여러 나무 조각이 맞물린 입체 퍼즐

사진: Gary Todd from Xinzheng, China · CC0 · 원본 출처

P(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0,n≥1,ak∈Z.P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,\quad n\ge1,\quad a_k\in\mathbb Z.

P의 유리수 해는 반드시 정수인지 증명하라. 계수가 정수라는 조건만으로 같은 결론을 내릴 수 있는지도 검사한다.

유리수 해를 서로소인 정수 p,q로 p/q라고 쓰되 q>0으로 고른다. P(p/q)=0에 qⁿ을 곱하면

pn=−q{an−1pn−1+an−2pn−2q+⋯+a0qn−1}.p^n=-q\{a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}q+\cdots+a_0q^{n-1}\}.

오른쪽 괄호는 정수이므로 q는 pⁿ을 나눈다. p와q가 서로소여서 pⁿ과q도 서로소다. 따라서 q=1이고 해는 정수다. p=0일 때도 서로소인 표시에서는 q=1이다.

최고차항의 계수가1이라는 전제를 지우면 2x−1은 정수 계수인데 해가1/2다. 앞의 식에서는 pⁿ 앞에 추가 계수가 없었던 점이 분모를1로 제한했다.

학생이 이 결론으로 모든 실근이 정수라고 적으면 x²−2를 대입하게 한다. 그 식의 두 실근은 무리수여서 유리수 해에 관한 증명과 충돌하지 않는다. 계수의 범위, 최고차항의 계수, 지금 찾는 해의 범위를 세 칸에 나누어 적는다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising by Inspection」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.