타원 x²/9+y²/4=1에 그은 서로 수직인 두 접선의 교점을 K=(u,v)라 하자. K가 만족하는 관계를 구하라. 세로선인 접선도 빠뜨리지 않는다.
세로선이 아닌 접선 y−v=m(x−u)는 다음 식을 만족한다.
두 접선의 기울기를 m₁,m₂라 하면
u²≠9인 경우 두 근의 곱이−1이어야 하므로 u²+v²=13이다.
u=±3인 경우 앞의 근의 곱 공식은 쓸 수 없다. 이때 세로선 x=±3은 접선이고 수직인 나머지 접선은 y=±2다. 교점(±3,±2)도 같은 원 x²+y²=13 위에 있다.
역도 확인한다. 이 원 위의 점에서 u²≠9이면 기울기 식의 판별식은4(16+5v²)>0이어서 서로 다른 두 실근이 있고 그 곱이−1이다. 각 기울기는 타원의 접선 조건을 만족한다. u²=9인 네 점은 위의 세로·가로 접선으로 확인했다. 따라서 교점 전체는 이 원이다.
교사는 ‘필요한 관계’를 얻은 답안과 ‘전체 자취’를 구한 답안을 구별한다. 식을 만족하는 점마다 실제 접선 두 개가 있는지, 세로선 후보가 빠지지 않는지까지 확인해야 전체라는 말이 성립한다.
접선의 기울기를 변수로 정한 순간 모든 직선을 표현한 것은 아니다. 분모가0이 되는 좌표가 계산 실수가 아니라 다른 표현으로 확인할 실제 후보일 수 있다.
곱이−1인 두 실수는 서로 다르므로 한 접선을 두 번 센 경우도 없다. 실근의 존재와 서로 다름을 함께 확인하면 실제로 두 접선이라는 조건까지 검산할 수 있다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.