X와Y는 독립이며 각각1/2,3/2를 같은 확률로 갖는다. T=XY의 평균과 분산을 구하라.
곱의 평균은1, 분산은1/16이라는 풀이를 검토한다.
곱 T는1/4,3/4,9/4를 확률1/4,1/2,1/4로 갖는다. 가운데 값은 서로 다른 두 순서의 곱에서 나와 확률이 두 배다. 평균은1로 맞지만 분산은
이다.
상수 배율과 변하는 배율
상수 a에 대한 V(aX)=a²V(X)에 Y를 그대로 넣어 V(X)V(Y)로 바꾸지는 않는다. Y는 매번1/2또는3/2로 달라지는 확률변수다. 독립이라는 조건도 이 잘못된 치환을 허용하지 않는다.
검산을 위해 E(T²)을 계산하면25/16이다. 평균의 제곱1을 빼서9/16을 다시 얻는다. 평균의 곱1이 맞았다는 사실만으로 다른 계산 규칙도 곱으로 이어지지는 않는다.
소수로 곱하면0.25,0.75,2.25가 된다. 두 인수의 평균이 모두1인데 결과가 늘1인 것은 아니다. 가능한 곱의 값부터 나열하면 평균과 변동을 따로 확인할 수 있다.
교사는 네 순서 쌍의 확률을 먼저 적고 같은 결과 두 개를 합친 분포를 만들게 한다. 분산 공식으로 바로 건너뛴 답안과 실제 곱의 분포를 확인한 답안을 구별한다. 곱의 평균이 맞는 줄은 유지하고 분산을 곱으로 만든 줄만 고치는 질문이다.
두 분산이 모두1/4인 것은 각 인수가 평균1에서1/2만큼 떨어져 있기 때문이다. 곱에서는 평균1에서의 차가−3/4,−1/4,5/4로 바뀐다. 이 세 차를 먼저 쓰면 변동이 단순히 곱해지지 않는 이유도 보인다.
출처·착안: Dr Nic, 「Why decimals are difficult」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.