정사면체의 네 꼭짓점은 (1,1,1),(1,−1,−1),(−1,1,−1),(−1,−1,1)이다. Q=(−1,−1,−1)에서 네 면을 포함하는 평면까지의 거리가 모두 같다는 사실로 “Q 중심 구가 정사면체 안에서 네 면에 접한다”고 결론 내릴 수 있는가?
평면식은 다음과 같다.
Q를 대입하면 각 식의 왼쪽에서 오른쪽을 뺀 값은 −2,2,2,2다. 따라서 거리는 모두2/√3이다. 그러나 Q는 정사면체 밖에 있다.
정사면체 안의 점은 네 식에서 왼쪽이 모두 −1 이상이어야 한다. 꼭짓점을 대입해 이쪽이 입체를 포함하는 쪽임을 확인할 수 있다. Q는 첫 식에서 −3<−1이므로 내부 조건을 만족하지 않는다.
거리 공식의 절댓값은 평면 어느 쪽에 있는지 정보를 지운다. 거리 네 개가 같다는 식만 남기면 내부 점과 외부 점을 구별할 수 없다. 구가 네 평면에 접한다는 조건과 입체 안에 들어간다는 조건도 따로 확인해야 한다.
교사는 “면”과 “면을 포함하는 평면”을 구별해서 쓴다. 평면은 삼각형의 바깥까지 계속되므로 평면에 닿은 점이 실제 삼각형 안에 있는지도 추가 정보다. Q에서 얻은 반지름을 그대로 내부 구의 답으로 채점하지 않는다.
원점은 네 내부 조건을 모두 만족하고 네 평면까지 거리는1/√3이다. Q와 원점을 함께 대입하면 거리의 같음과 위치의 조건이 각각 어떤 역할을 하는지 드러난다.
출처·착안: だいばっち, 「プラトン立体 3Dビジュアライザーで見る基礎情報～黄金比との関係」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.