aₙ/n의 극한을 구하고 역방향도 맞는지 검토하라. aₙ 자체가 수렴한다는 전제는 없다.
Δₖ=aₖ₊₁−aₖ로 적으면 aₙ=a₁+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹Δₖ다. 따라서 aₙ/n은 a₁/n과 수렴하는 차들의 평균을 더한 값이다. 처음의 유한한 오차를 n으로 나누고, 뒤의 각 오차를 작게 잡으면 평균은 d로 간다.
반대로 aₙ=dn+(−1)ⁿ√n이면 aₙ/n→d이지만 차는 d+(−1)ⁿ⁺¹(√(n+1)+√n)다. 두 부호에서 크기가 커져 수렴하지 않는다.
전체 높이를 번호로 나눈 값은 짧은 단계의 큰 진동을 평균으로 없앨 수 있다. 입력 번호 한 단계를 시간1로 읽을 때도 전체 평균 변화와 매 단계의 변화는 같은 정보가 아니다. 증명에는 첫 항을 남기고, 반례에는 실제 차를 전개하여 두 방향을 분리한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.